Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng \(8{\rm{cm}}\) và một hình tròn có bán kính \(5{\rm{cm}}\) được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục \(XY.\)

Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng \(8{\rm{cm}}\) và một hình tròn có bán kính \(5{\rm{cm}}\) được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên. Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục \(XY.\)

A. \(V = \frac{{260\pi }}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

B. \(V = \frac{{290\pi }}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

C. \(V = \frac{{580\pi }}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

D. \(V = \frac{{520\pi }}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Thể tích khối cầu \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {5^3} = \frac{{500\pi }}{3}.\)

Ta có phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt {25 – {x^2}} \\y = – \sqrt {25 – {x^2}} \end{array} \right.\)

Giao điểm giữa đường tròn \(y = \sqrt {25 – {x^2}} \) và đường thẳng \(y = 4\)tại điểm \(A\left( {3;\,4} \right),\,B\left( { – 3;\,4} \right)\)

Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đồ thị các hàm số: \(y = 4,\) \(y = \sqrt {25 – {x^2}} \), \(x = 4\) và \(x = 3\) khi quay quanh trục hoành:

\( \Rightarrow {V_2} = \pi \int\limits_3^4 {\left| {{4^2} – \left( {25 – {x^2}} \right)} \right|} {\rm{ d}}x = \frac{{10\pi }}{3}\).

Vậy thể tích cần tính: \(V = {V_1} + 2{V_2} = \frac{{520\pi }}{3}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)