Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \ge 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2x{y^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 2x – 4y\) thuộc khoảng nào sau đây

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \ge 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2x{y^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 2x – 4y\) thuộc khoảng nào sau đây

A. \(\left( {1;2} \right)\).

B. \(\left( {2;3} \right)\).

C. \(\left( { – 3; – 2} \right)\).

D. \(\left( { – 1;1} \right)\).

Lời giải:

Với \(x\) và \(y\) là các số thực dương ta có:

\(\begin{array}{l}\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \ge 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2x{y^2} \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \ge \left( {9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}} \right) – \left( {{x^2}{y^2} + 2x{y^2} + {y^2}} \right)\\ & & & & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \log \left( {xy + y} \right) – \log \left( {3{y^2} + y} \right) \ge {\left( {3{y^2} + y} \right)^2} – {\left( {xy + y} \right)^2}\\ & & & & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \log \left( {xy + y} \right) + {\left( {xy + y} \right)^2} \ge \log \left( {3{y^2} + y} \right) + {\left( {3{y^2} + y} \right)^2}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+/ Xét hàm số \(f\left( t \right) = \log t + {t^2}\) khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0,\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {xy + y} \right) \ge f\left( {3{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y \ge 3{y^2} + y \Leftrightarrow x \ge 3y \Leftrightarrow x – 3y \ge 0,\,\,\forall x,y > 0\).

Ta có: \(P = {x^2} + {y^2} – 2x – 4y\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = P + 5\).

\({P_{\min }} \Leftrightarrow R = \sqrt {{P_{\min }} + 5} = d\left( {I;\Delta } \right)\)

trong đó: \(\Delta 😡 – 3y = 0,\,\,I\left( {1;2} \right)\).

\(\sqrt {{P_{\min }} + 5} = \frac{{\left| {1 – 3.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {P_{\min }} = – \frac{5}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \( – \frac{5}{2}\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024