Người ta đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là \(a\) và \(2a\) sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là

A. \(\sqrt 5 a\).

B. \(3a\).

C. \(2\sqrt 2 a\).

D. \(\frac{{8a}}{3}\).

Lời giải:

Fb: Dung Thùy

Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác \(ABC\) với \(A\) là đỉnh của hình nón và \(BC\) là đường kính đáy của hình nón có tâm đáy là \(I\).

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính \(2a\) và \(a\). \(H\) và \(K\) lần lượt là điểm tiếp xúc của \(AC\)với hai đường tròn tâm \(M\) và \(N\).

Ta có: \(NK\)là đường trung bình trong tam giác \(AMH\)suy ra \(N\) là trung điểm của \(AM\).

\(AM = 2MN\)\( = 2.3a\)\( = 6a\)\( \Rightarrow AI = 8a\).

Ta lại có hai tam giác vuông \(AIC\)và \(AHM\)đồng dạng

suy ra \(\frac{{IC}}{{HM}} = \frac{{AI}}{{AH}}\)\( \Leftrightarrow IC = \frac{{8a.2a}}{{\sqrt {36{a^2} – 4{a^2}} }}\)\( = 2a\sqrt 2 \).

Vậy bán kính hình nón là \(R = 2a\sqrt 2 \).