Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O’} \right)\), bán kính bằng \(a\). Một hình nón có đỉnh là \(O’\) và có đáy là hình tròn \(\left( O \right)\). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng \({60^0}\), tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

A. \(2\).

B. \(\sqrt 2 \).

C. \(\sqrt 3 \).

D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Lời giải:

Gọi \(A\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Góc giữa \(O’A\) và mặt phẳng đáy là góc \(\widehat {O’AO}\). Theo giả thiết ta có \(\widehat {O’AO} = {\rm{60}}^\circ .\)

Xét tam giác \(O’OA\) vuông tại \(O\), ta có:

\(\tan \widehat {O’AO} = \frac{{O’O}}{{OA}} \Rightarrow O’O = a.\tan {\rm{60}}^\circ = a\sqrt 3 \).

+ \({\rm{cos }}\widehat {O’AO} = \frac{{OA}}{{O’A}} \Rightarrow O’A = \frac{a}{{{\rm{cos 60}}^\circ }} = 2a\).

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq\left( T \right)}} = 2\pi .OA.O’O = 2\pi .a.a\sqrt 3 = 2\pi {a^2}\sqrt 3 \).

Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq\left( N \right)}} = \pi .OA.O’A = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{xq\left( T \right)}}}}{{{S_{xq\left( N \right)}}}} = \frac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{{2\pi {a^2}}} = \sqrt 3 \).