Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \), \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(CD\).

Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \), \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(CD\).

A. \(\frac{{7\sqrt 2 \,\pi {a^3}}}{6}\)

B. \(\frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}}\)

C. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{6}\)

D. \(\frac{{7\pi {a^3}}}{{12}}\)

Lời giải:

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\). Gọi \(F\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(CE\).

Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow \widehat {BCA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {ECB} = 45^\circ \Rightarrow \Delta EBC\) vuông cân tại \(B\).

Khi đó \(\Delta \;BCF = \Delta \;BEF\) nên tam giác \(\Delta \;BCF\) và \(\Delta \;BEF\) quay quanh trục \(CD\) tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích \({V_1}\).

Tương tự: \(\Delta \;ADC = \Delta \;AEC\left( {cgv – gnk} \right)\) nên tam giác \(\Delta \;ADC\) và \(\Delta \;AEC\) quay quanh trục \(CD\) tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích \(V\).

Nên thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(CD\)bằng: \(2V – 2{V_1} = 2.\frac{1}{3}\pi \left( {CD.A{C^2} – CF.B{F^2}} \right)\)

\(CD = AC = \sqrt {B{C^2} + B{A^2}} = a\sqrt 2 \); \(CF = FB = BC.\cos 45^\circ = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó \(2V – 2{V_1} = \frac{2}{3}\pi \left[ {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^3} – {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^3}} \right] = \frac{{7\sqrt 2 \,\pi {a^3}}}{6}\).