Cho khối lăng trụ tam giác \(ABCA’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(A’\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).

C. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\).

D. \(\frac{{{a^3}}}{8}\).

Lời giải:

Ta có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) nên diện tích đáy bằng \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Hình chiếu của \(A’\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\), do đó \(AH\) là đường cao của khối lăng trụ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(BM \bot AC\) và \(BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM\), khi đó \(HI\) là đường trung bình của tam giác \(ABM\).

\( \Rightarrow HI = \frac{1}{2}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(HI \bot AC\). Suy ra góc \(\left( {\left( {ACC’A’} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {AIH} = 60^\circ \).

Xét tam giác vuông \(AIH\), \(AH = HI.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{4}\)

Thể tích của khối lăng trụ là \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\).