Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác cân, \(BA = BC = a,\widehat {ABC} = {120^o}\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^o}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\).

A. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}\).

B. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\).

D. \(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).

Lời giải:

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(A’G \bot \left( {ABC} \right)\).

\(BM \bot AC\), \(A’G \bot AC\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {A’BG} \right)\)\( \Rightarrow AC \bot A’M\).

Suy ra góc hai mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {A’MG}\) và \(\widehat {A’MG} = {60^o}\)_.

_{Ta có:} \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2} – 2.a.a.\cos {{120}^o}} = a\sqrt 3 \)_; \(BM = \sqrt {\frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} – \frac{{A{C^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\)

\(GM = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3}.\frac{a}{2} = \frac{a}{6}\)

_Trong \(\Delta A’GM:A’G = GM.\tan \widehat {A’MG} = \frac{a}{6}.\tan {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.A’G\)\( = \frac{1}{2}BA.BC.\sin {120^o}.A’G = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)\( = \frac{{{a^3}}}{8}\).