Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(A’A = A’B = A’C\), \(A’A = 2a\). Mặt bên \(BCC’B’\) tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\).

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

B. \({a^3}\).

C.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

D.\({a^3}\sqrt 3 \).

Lời giải:

Vì \(A’A = A’B = A’C\) nên hình chiều vuông góc của \(A’\) lên mặt đáy trùng với trung điểm của cạnh \(BC\).

Gọi \(M,\,\,M’\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(B’C’\) khi đó \(\left( {\left( {BCC’D’} \right),\,\left( {A’B’C’} \right)} \right) = \angle A’M’M\)

\( = {60^0} \Rightarrow \angle A’AM = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(A’AM\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {60^0} = \frac{{A’M}}{{AA’}} \Rightarrow A’M = AA’.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \\\tan {60^0} = \frac{{A’M}}{{AM}} \Rightarrow AM = a \Rightarrow BC = 2a\end{array} \right.\)

Vậy thể tích của khối lăng trụ là: \(V = B.h = \frac{1}{2}a.2a.a\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 \).

===========

Câu 43 THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ BIẾT GÓC KHOẢNG CÁCH VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024