Cho lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA’\) và \(BC\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

Lời giải:

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \({\rm{ABC}}\) và \(I\) là trung điểm\(BC.\) Ta có

\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}A’H \bot BC\,\\AI \bot BC\\A’H \cap AI = H\,\end{array} \right.\,\, \Rightarrow BC \bot \left( {A’AI} \right) \Rightarrow BC \bot AA’.\)

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(AA’\). Khi đó \(IK\) là đoạn vuông góc chung của \(AA’\) và \(BC\) nên \(IK{\rm{ = }}d\left( {AA'{\rm{, }}BC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Xét tam giác vuông \(AIK\) vuông tại \(K\) có

\(IK{\rm{ = }}\frac{{a\sqrt 3 }}{4},\,\,AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow IK = \frac{1}{2}AI \Rightarrow \widehat {KAI} = 30^\circ .\)

Xét tam giác vuông \(AA’H\) vuông tại \(H\) có \(A’H{\rm{ = }}AH{\rm{.tan30}}^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{a}{3}.\)

Vậy \({{\rm{V}}_{ABC.A’B’C’}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)