Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Khoảng cách từ tâm \(O\) của tam giác \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) bằng \(BCD\). Thể tích khối lăng trụ bằng

A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

B. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{28}}\).

D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

Lời giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(A’M\).

Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA’\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {AA’M} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Mà \(AH \bot A’M{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ và \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(\frac{{d\left( {O,\left( {A’BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}} = \frac{{MO}}{{MA}} = \frac{1}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {A’BC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\) \( \Rightarrow AH = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác vuông \(A’AM\): \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{{A’}^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} – \frac{4}{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AA’ = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\).

Suy ra thể tích lăng trụ \(ABC.A’B’C’\)là: \(V = AA’.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\).