Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = \sqrt 3 ,BC = \sqrt {10} \). Hai mặt bên \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {AA’C’C} \right)\) lần lượt tạo với đáy các góc \({45^0}\) và \({60^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ nếu biết cạnh bên bằng \(1\).

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{3}{2}\).

C. \(1\).

D. \(3\).

Lời giải:

Kẻ \(A’H \bot \left( {ABC} \right),HM \bot AB,HN \bot AC\) \( \Rightarrow A’M \bot AB,A’N \bot AC\)

\( \Rightarrow \widehat {A’MH} = {45^0},\widehat {A’NH} = {60^0}\). Đặt \(A’H = x\). Khi đó \(A’N = \frac{x}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }};AN = \sqrt {AA{‘^2} – A'{N^2}} = \sqrt {\frac{{3 – 4{x^2}}}{3}} \)

Mà \(HM = x.\cot {45^0} = x\), mà \(HM = AN\) do đó: \(x = \sqrt {\frac{{3 – 4{x^2}}}{3}} \Rightarrow x = \sqrt {\frac{3}{7}} \)

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = \frac{1}{2}AB.AC.x = \frac{1}{2}AB.\sqrt {B{C^2} – A{B^2}} .x = \frac{1}{2}\sqrt 3 .\sqrt 7 .\sqrt {\frac{3}{7}} = \frac{3}{2}\).