nbsp; Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông cân \(AC = BC = 3a\), hình chiếu vuông góc của \(B’\) lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\), mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(60^\circ \). Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. \(\frac{{9{a^3}\sqrt 6 }}{8}\)

B. \(\frac{{9{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

D. \(\frac{{9{a^3}}}{4}\)

Lời giải:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm .

\( \Rightarrow B’G \bot \left( {ABC} \right)\) và \(CI \bot AB\)

Ta có \(\left( {B’GI} \right) \bot AB\)\( \Rightarrow \widehat {B’IG} = 60^\circ \).

Mặt khác \(CI = \frac{1}{2}AB = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow GI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow B’G = GI.\tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = B’G.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \cdot \frac{{9{a^2}}}{2} = \frac{{9{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).