nbsp; Trong không gian cho tam giác đều \(SAB\) và hình chữ nhật \(ABCD\) với\(AD = 2a\) nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\). Biết \(\tan \varphi = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là

A. \(V = {a^3}\sqrt 3 \)

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Lời giải:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB,\) \(CD.\)

Gọi \(H,\) \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\) \(CD.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot d.\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK \Rightarrow d \bot SK.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\\SH \bot d,{\rm{ }}SH \subset \left( {SAB} \right)\\SK \bot d,{\rm{ }}SK \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right..\) Do đó \(\left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SH,SK}} \right) = \widehat {HSK}.\)

Xét tam giác vuông \(SHK,\) có \(\tan \widehat {HSK} = \frac{{HK}}{{SH}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \frac{{2a}}{{SH}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow SH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác đều \(SAB\) có: \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow AB = a\sqrt 6 \)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\)bằng \(V = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}a\sqrt 6 .2a.\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = {a^3}\sqrt 3 \).