Hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh a, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng

\(\left( {ABCD} \right)\)\(SB = a\sqrt {10} \). Gọi \({G_1},\,{G_2}\) và \({G_3}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAC,SAD\) và \(SDC\). Tính thể tích khối tứ diện \(D{G_1}{G_2}{G_3}\).

A. \(\frac{{{a^3}}}{{54}}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{{27}}\).

C. \(\frac{{{a^3}}}{{36}}\).

D. \(\frac{{{a^3}}}{{45}}\).

Lời giải:

Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{a^2}\sqrt {10{a^2} – {a^2}} = {a^3} \Rightarrow {V_{S.OMN}} = \frac{{{a^3}}}{8} \Rightarrow {V_{S.{G_1}{G_2}{G_3}}} = \frac{{{a^3}}}{{27}}\)

Hai mặt phẳng \(({G_1}{G_2}{G_3})//(ABCD)\) \( \Rightarrow d(D;{G_1}{G_2}{G_3}) = d(O;{G_1}{G_2}{G_3}) = \frac{1}{2}d(S;{G_1}{G_2}{G_3})\)

Vậy thể tích khối \({V_{D{G_1}{G_2}{G_3}}} = \frac{1}{2}{V_{S{G_1}{G_2}{G_3}}} = \frac{{{a^3}}}{{54}}\)