Cho số phức \(z\) có phần ảo dương thỏa mãn \(\left| {z – 3 + i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \(\frac{z}{{z – 2}}\) là số thuần ảo. Tìm môđun của số phức \(z\).
A. \(1\).
B. \(\sqrt 2 \).
C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).
D. \(3\).
Lời giải
Chọn B
Điều kiện \(z \ne 2\).
Gọi \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R};\,\,y > 0\).
Ta có \(\left| {z – 3 + i} \right| = 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 6x – 2y – 2\,\,\left( 1 \right)\).
\(\frac{z}{{z – 2}}\)\( = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {x – 2 – yi} \right)}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}}}\)\(\, = \,\frac{{{x^2} – 2x + {y^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}}} – \frac{{2y}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}}}i\).
Mà \(\frac{z}{{z – 2}}\) là số thuần ảo khi và chỉ khi \(\frac{{{x^2} – 2x + {y^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x + {y^2} = 0\\\left( {x;y} \right) \ne \left( {2;0} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\4x – 2y – 2 = 0\\\left( {x;y} \right) \ne \left( {2;0} \right)\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {2x} \right)^2} = 8\\y = 2x – 1\\\left( {x;y} \right) \ne \left( {2;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 1\\x = \frac{1}{5};y = – \frac{3}{5}\end{array} \right.\\\left( {x;y} \right) \ne \left( {2;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {t/m} \right)\\x = \frac{1}{5};y = – \frac{3}{5}\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\,\,\).
Vậy ta có được \(z = 1 + i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời