Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{a}{{\sqrt {2b + 3c + 1} }} + \frac{1}{2}{2^{{a^2}}} \ge {4^b}{.8^c}\). Biết rằng biểu thức \(P = \frac{a}{2} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{3}{c}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = m,\,\,b = n,\,\,c = p\). Khi đó, tổng \(m + n + p\) bằng:

Câu hỏi:
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{a}{{\sqrt {2b + 3c + 1} }} + \frac{1}{2}{2^{{a^2}}} \ge {4^b}{.8^c}\). Biết rằng biểu thức \(P = \frac{a}{2} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{3}{c}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = m,\,\,b = n,\,\,c = p\). Khi đó, tổng \(m + n + p\) bằng:

A. \(\frac{{19}}{2}.\) 

B. \(12.\) 

C. \(7.\) 

D. \(\frac{9}{2}.\)

GY:.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{a}{{\sqrt {2b + 3c + 1} }} + \frac{1}{2}{.2^{{a^2}}} \ge {4^b}{.8^c} \Leftrightarrow {\log _2}a + \frac{1}{2}{.2^{{a^2}}} \ge {\log _2}\sqrt {2b + 3c + 1}+ {2^{2b + 3c}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\log _2}{a^2} + {2^{{a^2}}} \ge {\log _2}\left( {2b + 3c + 1} \right) + {2^{2b + 3c + 1}}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = {\log _2}x + {2^x}\) trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) có \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{x.\ln 2}} + {2^x}.\ln 2 > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right).\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) và \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {{a^2}} \right) \ge f\left( {2b + 3c + 1} \right) \Leftrightarrow {a^2} \ge 2b + 3c + 1\).

Ta có \(P = \frac{a}{2} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{3}{c} = \frac{a}{2} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{9}{{3c}} \ge \frac{a}{2} + \frac{{16}}{{2b + 3c + 1}} \ge \frac{a}{2} + \frac{{16}}{{{a^2}}} = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{{16}}{{{a^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{4}.\frac{a}{4}.\frac{{16}}{{{a^2}}}}} = 3\)

Suy ra \({P_{\min }} = 3\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}2b + 1 = c\\{a^2} = 2b + 3c + 1\\\frac{a}{4} = \frac{{16}}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \frac{3}{2}\\c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = p = 4\\n = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m + n + p = \frac{{19}}{2}.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit