Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(9{\left( {{{\log }_3}\sqrt[3]{x}} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {3;81} \right)\).
A. \(m \le – 1\).
B. \(m \le – 10\).
C. \(m \ge – 10\).
D. \(m \ge – 1\).
Lời giải
Ta có \(9{\left( {{{\log }_3}\sqrt[3]{x}} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\)\( \Leftrightarrow 9{\left( {{{\log }_3}{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + {\log _3}x + 2m \ge 0\).
Đặt \({\log _3}x = t\), khi \(x \in \left( {3;81} \right)\) thì \(t \in \left( {1;4} \right)\).
Khi đó ta được bất phương trình \({t^2} + t + 2m \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2m \ge – {t^2} – t\,\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = – {t^2} – t\) với \(t \in \left( {1;4} \right)\).
Ta có \(f’\left( t \right) = – 2t – 1 < 0,\,\forall t \in \left( {1;4} \right)\).
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi \(x \in \left( {3;81} \right)\) khi và chỉ khi bất phương trình \(\left( * \right)\) đúng với mọi \(t \in \left( {1;4} \right)\)\( \Leftrightarrow 2m \ge – 2 \Leftrightarrow m \ge – 1\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit
Trả lời