Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;\,10} \right]\) để tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + 3{{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} – 7} < m\left( {{{\log }_4}{x^2} – 7} \right)\) chứa khoảng \(\left( {256;\, + \infty } \right)\).

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;\,10} \right]\) để tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + 3{{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} – 7} < m\left( {{{\log }_4}{x^2} – 7} \right)\) chứa khoảng \(\left( {256;\, + \infty } \right)\).

A. \(7\).

B. \(10\).

C. \(8\).

D. \(9\).

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log _2^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} – 7 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log _2^2x – 6{\log _2}x – 7 \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x \le – 1\\{\log _2}x \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge 128\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le \frac{1}{2}\\x \ge 128\end{array} \right.\)

Với điều kiện trên bất phương trình trở thành \(\sqrt {\log _2^2x – 6{{\log }_6}x – 7} < m\left( {{{\log }_2}x – 7} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) thì \(t > 8\) vì \(x \in \left( {256;\, + \infty } \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {t + 1} \right)\left( {t – 7} \right)} < m\left( {t – 7} \right) \Leftrightarrow m > \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} ;\,\,\,\,(t > 8)\). Đặt \(f\left( t \right) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} \).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) thỏa mãn \(m > \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} ;\,\,\,\,(t > 8)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t – 7}}} \) trên nữa khoảng \({\rm{[}}8; + \infty )\)

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {t – 7} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{t – 7}}{{t + 1}}} < 0,\,\forall t \ge 8\) \( \Rightarrow f\left( t \right)\) luôn nghịch biến trên nữa khoảng \({\rm{[}}8; + \infty )\)

Bảng biến thiên:

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {8;\, + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 8 \right) = 3\)\( \Rightarrow m \ge 3\).

Mà \(m \in \left[ {0;\,10} \right]\) nên \(m \in \left\{ {3;\,4;\,…;\,10} \right\}\).

Vậy có \(8\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số