Câu hỏi:
Đề bài: Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) – xf\left( {1 – x} \right) = {x^4} – 5{x^3} + 12{x^2} – 4\) với mọi x thuộc \(D = \left\{ {x \in \mathbb{R}:{x^4} – 10{x^2} + 9 \le 0} \right\}\). Gọi \(M,m\) lần lượt là GTLN, GTNN của \(f\left( x \right)\) trên tập \(D\). Tính giá trị của biểu thức \(S = 21m + 6M + 2019\)
A. 2235.
B. 2223.
C. 2319.
D. 1623.
Lời giải
Chọn A
– Ta có \(D = \left[ { – 3;\, – 1} \right] \cup \left[ {1;\,3} \right]\)
* Ta tìm công thức của \(f\left( x \right)\)
Cách 1. Sử dụng kiến thức Đa thức
– Ta có \(\deg f\left( x \right) = \deg f\left( {1 – x} \right),\,\deg \left( {xf\left( x \right)} \right) = \deg f\left( x \right) + 1\)
– Khi đó để có \(f\left( x \right) – xf\left( {1 – x} \right) = {x^4} – 5{x^3} + 12{x^2} – 4\) thì \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc 3
– Giả sử \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
– Ta có \(f\left( x \right) – xf\left( {1 – x} \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d – x\left( {a{{\left( {1 – x} \right)}^3} + b{{\left( {1 – x} \right)}^2} + c\left( {1 – x} \right) + d} \right)\)
\( = {x^4} – 5{x^3} + 12{x^2} – 4\)
– Biến đổi ta có
\(a{x^4} + \left( { – 2a – b} \right){x^3} + \left( {3a + 3b + c} \right){x^2} + \left( { – a – b – d} \right)x + d = {x^4} – 5{x^3} + 12{x^2} – 4\)
– Đồng nhất đa thức hai vế ta được \(a = 1,\,b = 3,\,c = 0,\,d = – 4\)
– Khi đó \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} – 4\)
Cách 2. Dùng kiến thức của phương trình hàm
– Ta có \(f\left( x \right) – xf\left( {1 – x} \right) = {x^4} – 5{x^3} + 12{x^2} – 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
– Trong (1) thay \(x\) bởi \(1 – x\) ta được
\(f\left( {1 – x} \right) – \left( {1 – x} \right)f\left( x \right) = {\left( {1 – x} \right)^4} – 5{\left( {1 – x} \right)^2} + 12{\left( {1 – x} \right)^2} – 4\)
Hay \( – \left( {1 – x} \right)f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = {x^4} + {x^3} + 3{x^2} – 13x + 4\,\left( 2 \right)\)
– Lấy (1) – x.(2) ta được \(\left( {{x^2} – x + 1} \right)f\left( x \right) = \left( {{x^2} – x + 1} \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} – 4} \right)\)
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} – 4\) do \({x^2} – x + 1 \ne 0\forall x\)
– Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 \in D\\x = 0 \notin D\end{array} \right.\)
– Ta có \(f\left( { – 3} \right) = – 4,\,f\left( { – 1} \right) = – 2,\,f\left( { – 2} \right) = 0,\,f\left( 1 \right) = 0,\,f\left( 3 \right) = 50\)
– Suy ra \(M = 50,\,m = – 4\). Khi đó \(S = 12\left( { – 4} \right) + 6.50 + 2019 = 2235\)
Giải thích các phương án nhiễu ☺
B. HS tính nhầm \(f\left( { – 1} \right) = – 8\)
C. HS xác định sai tập \(D = \left[ {1;3} \right]\)
D. HS tính nhầm \(f\left( { – 3} \right) = – 58\)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời