Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x – 1} \right)^2}\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 3\,;\,3} \right]\) bằng

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x – 1} \right)^2}\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 3\,;\,3} \right]\) bằng

A. \(g\left( 0 \right)\).

B. \(g\left( 1 \right)\).

C. \(g\left( 3 \right)\).

D. \(g\left( { – 3} \right)\).

Lời giải

Chọn D

\(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {x – 1} \right) = 2\left[ {f’\left( x \right) – \left( {x – 1} \right)} \right]\).

Vẽ đường thẳng \(y = x – 1\) cùng với đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = x – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ { – 3\,;\,3} \right]\):

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = \min \left\{ {g\left( { – 3} \right)\,;\,g\left( 3 \right)} \right\}\).

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), \(y = x – 1\), \(x = – 3\), \(x = 1\).

Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), \(y = x – 1\), \(x = 1\), \(x = 3\).

Ta có \({S_1} > {S_2} \Leftrightarrow \int\limits_{ – 3}^1 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( {x – 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} > \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {x – 1} \right) – f’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int\limits_{ – 3}^1 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} > \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left[ { – g’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_{ – 3}^1 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} > 0 \Leftrightarrow \int\limits_{ – 3}^3 {g’\left( x \right){\rm{d}}x} > 0 \Leftrightarrow \left. {g\left( x \right)} \right|_{ – 3}^3 > 0\)

\( \Leftrightarrow g\left( 3 \right) – g\left( { – 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { – 3} \right)\)\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 3} \right)\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số