Cho \(x\),\(y\),\(z\) là ba số thực thỏa mãn \(1 \le x \le y \le z \le 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(H = \frac{{x + 3y}}{{{z^2} + 3\left( {x + y + 1} \right)}} + \frac{{y + 3z}}{{{x^2} + 3\left( {y + z + 1} \right)}} + \frac{{z + 3x}}{{{y^2} + 3\left( {z + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{4\left( {x + y + z – 1} \right)}}\)
A. \(\frac{{53}}{{40}}\).
B. \(\frac{{499}}{{380}}\).
C. \(\frac{{20}}{{16}}\).
D. \(\frac{{21}}{{16}}\).
Lời giải
Chọn D
Ta có \(1 \le x \le 2\) nên \(\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} \le 3x – 2\) \( \Leftrightarrow \) \({x^2} + 3\left( {y + z + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1\). (1)
Ta có \(1 \le y \le 2\) nên \(\left( {y – 1} \right)\left( {y – 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow \) \({y^2} + 3\left( {z + x + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1\). (2)
Ta có \(1 \le z \le 2\) nên \(\left( {z – 1} \right)\left( {z – 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow \) \({z^2} + 3\left( {x + y + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1\). (3)
Vậy\(H \ge \frac{{4\left( {x + y + z} \right)}}{{3\left( {x + y + z} \right) + 1}} + \frac{1}{{4\left( {x + y + z – 1} \right)}}\).
Đặt \(t = x + y + z\). Suy ra \(3 \le t \le 6\).
Ta được \(f(t) = \frac{{4t}}{{3t + 1}} + \frac{1}{{4t – 4}}\) \( \Rightarrow \)\(f'(t) = \frac{4}{{{{\left( {3t + 1} \right)}^2}}} – \frac{1}{{4{{\left( {t – 1} \right)}^2}}}\).
Cho \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5\).
Lập bảng biến thiên \(f(t)\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(H = \frac{{21}}{{16}}\) khi \(t = 5\).
Kết hợp (1) (2) và (3). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(H = \frac{{21}}{{16}}\) khi \(x = 1;{\rm{ }}y = z = 2\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời