Cho (x),(y),(z) là ba số thực thỏa mãn (1 le x le y le z le 2). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (H = frac{{x + 3y}}{{{z^2} + 3left( {x + y + 1} right)}} + frac{{y + 3z}}{{{x^2} + 3left( {y + z + 1} right)}} + frac{{z + 3x}}{{{y^2} + 3left( {z + x + 1} right)}} + frac{1}{{4left( {x + y + z - 1} right)}}) - Sách Toán - Học Toán

$<p>Cho (x),(y),(z)<sub> </sub>là ba số thực thỏa mãn (1 le x le y le z le 2). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (H = frac{{x + 3y}}{{{z^2} + 3left( {x + y + 1} right)}} + frac{{y + 3z}}{{{x^2} + 3left( {y + z + 1} right)}} + frac{{z + 3x}}{{{y^2} + 3left( {z + x + 1} right)}} + frac{1}{{4left( {x + y + z - 1} right)}})</p> 1$ Câu hỏi:

Cho $x$,$y$,$z$là ba số thực thỏa mãn $1 \le x \le y \le z \le 2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $H = \frac{{x + 3y}}{{{z^2} + 3\left( {x + y + 1} \right)}} + \frac{{y + 3z}}{{{x^2} + 3\left( {y + z + 1} \right)}} + \frac{{z + 3x}}{{{y^2} + 3\left( {z + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{4\left( {x + y + z – 1} \right)}}$

A. $\frac{{53}}{{40}}$.

B. $\frac{{499}}{{380}}$.

C. $\frac{{20}}{{16}}$.

D. $\frac{{21}}{{16}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $1 \le x \le 2$nên $\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} \le 3x – 2$ $ \Leftrightarrow $ ${x^2} + 3\left( {y + z + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1$. (1)

Ta có $1 \le y \le 2$nên $\left( {y – 1} \right)\left( {y – 2} \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow $ ${y^2} + 3\left( {z + x + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1$. (2)

Ta có $1 \le z \le 2$nên $\left( {z – 1} \right)\left( {z – 2} \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow $ ${z^2} + 3\left( {x + y + 1} \right) \le 3\left( {x + y + z} \right) + 1$. (3)

Vậy$H \ge \frac{{4\left( {x + y + z} \right)}}{{3\left( {x + y + z} \right) + 1}} + \frac{1}{{4\left( {x + y + z – 1} \right)}}$.

Đặt $t = x + y + z$. Suy ra $3 \le t \le 6$.

Ta được $f(t) = \frac{{4t}}{{3t + 1}} + \frac{1}{{4t – 4}}$ $ \Rightarrow $$f'(t) = \frac{4}{{{{\left( {3t + 1} \right)}^2}}} – \frac{1}{{4{{\left( {t – 1} \right)}^2}}}$.

Cho $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5$.

Lập bảng biến thiên $f(t)$

<p>Cho (x),(y),(z)<sub> </sub>là ba số thực thỏa mãn (1 le x le y le z le 2). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: (H = frac{{x + 3y}}{{{z^2} + 3left( {x + y + 1} right)}} + frac{{y + 3z}}{{{x^2} + 3left( {y + z + 1} right)}} + frac{{z + 3x}}{{{y^2} + 3left( {z + x + 1} right)}} + frac{1}{{4left( {x + y + z - 1} right)}})</p> 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của $H = \frac{{21}}{{16}}$ khi $t = 5$.

Kết hợp (1) (2) và (3). Vậy giá trị nhỏ nhất của$H = \frac{{21}}{{16}}$ khi $x = 1;{\rm{ }}y = z = 2$.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Reader Interactions

Để lại phản hồi Huỷ trả lời