Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(2f\left( {2\cos x} \right) – 9 = 0\) là

Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(2f\left( {2\cos x} \right) – 9 = 0\) là

A. \(5\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = 2\cos x\), \(t \in \left[ { – 2\,;\,2} \right]\) thì \(2f\left( {2\cos x} \right) – 9 = 0\,\)trở thành \(2f\left( t \right) – 9 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{9}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là \(\left( 1 \right)\) số giao điểm của hai đồ thị: \(\left( C \right):\,y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,y = \frac{9}{2}\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2\,;\,2} \right]\):

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm \(t \in \left[ { – 2\,;\,2} \right]\) của \(\left( 2 \right)\) là 2 nghiệm phân biệt \({t_1} \in \left( { – 2\,;0} \right),\,\,{t_2} \in \left( {0\,;2} \right)\).

Ta có đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\):

▪Với \({t_1} \in \left( { – 2\,;\,0} \right) \Rightarrow 2\cos x = {t_1} \in \left( { – 2\,;\,0} \right) \Rightarrow \cos x = \frac{{{t_1}}}{2} \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) ta thấy phương trình \(\cos x = \frac{{{t_1}}}{2} \in \left( { – 1\,;\,0} \right)\) có

3 nghiệm phân biệt: \( – \pi< {x_1} <- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2} < {x_2} < \pi< {x_3} < \frac{{3\pi }}{2}\)T \(\left( 1 \right)\)có 3 nghiệm \(x \in \left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).

▪Với \({t_2} \in \left( {0\,;\,2} \right) \Rightarrow 2\cos x = {t_2} \in \left( {0\,;\,2} \right) \Rightarrow \cos x = \frac{{{t_2}}}{2} \in \left( {0\,;\,1} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) ta thấy phương trình \(\cos x = \frac{{{t_2}}}{2} \in \left( {0\,;\,1} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( – \frac{\pi }{2} < {x_4} < 0 < {x_5} < \frac{\pi }{2}\).

Vậy số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(2f\left( {2\cos x} \right) – 9 = 0\)là \(2 + 3 = 5\).