Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên \(y = f’\left( x \right)\) như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 1998;1998} \right]\)để hàm số \(g(x) = f(\frac{{{x^3}}}{9}) – \frac{{m{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}{{18}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;5} \right)\)?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 1998;1998} \right]\)để hàm số \(g(x) = f(\frac{{{x^3}}}{9}) – \frac{{m{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}{{18}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;5} \right)\)?

A. \(1981\).

B. \(1982\).

C. \(1979\).

D. \(1980\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có:

\(g'(x) = \frac{{{x^2}}}{3}.f'(\frac{{{x^3}}}{9}) – \frac{m}{9}\left( {{x^2} + 9} \right).2x \le 0\,\,,\forall x \in \left( {0;5} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2m \ge \frac{{3x}}{{{x^2} + 9}}.f'(\frac{{{x^3}}}{9})\,\,,\forall x \in \in \left( {0;5} \right)\)

Ta có:

* \(\frac{{3x}}{{{x^2} + 9}} = \frac{{\sqrt {9.{x^2}} }}{{{x^2} + 9}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

*\(f'(\frac{{{x^3}}}{9})\,\, \le 72\,\,,\forall \in \left( {0;5} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

* \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)xảy ra dấu khi và chỉ khi \(x = 3\)

Yêu cầu bài toán: \(2m \ge 36 \Leftrightarrow m \ge 18\)

Vậy có \(1981\) số nguyên.