Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn \( – 10 < m < 10\) và hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x + m} \right)\)đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)?
A. \(5\).
B. \(4\).
C. \(6\).
D. \(1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(y’ = \left( {2x + 2} \right){f^’}\left( {{x^2} + 2x + m} \right)\).
Hàm số đã cho đồngbiến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {2x + 2} \right){f^’}\left( {{x^2} + 2x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) \( \Leftrightarrow {f^’}\left( {{x^2} + 2x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + m \le – 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + m \ge 0}\\{{x^2} + 2x + m \le 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).
Đặt \(t = {x^2} + 2x\). Với \(x \in \left( {0;1} \right)\) thì\(t \in \left( {0;3} \right)\)
Do đó \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + m \le – 2}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + m \ge 0}\\{t + m \le 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall t \in \left( {0;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le – 2 – t}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge – t}\\{m \le 3 – t}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.,\forall t \in \left( {0;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le – 5}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 0}\\{m \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le – 5}\\{m = 0}\end{array}} \right.\).
Vì \(m\) nguyên và \( – 10 < m < 10\)nên \(m \in \left\{ { – 9; – 8; – 7; – 6; – 5;0} \right\}\).
Vậy có \(6\)giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC