Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên \(f’\left( x \right)\) như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 1998\,;\,1998} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) – \frac{{m{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}{{18}}\)

nghịch biến trên \(\left( {0\,;5} \right)\)?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 1998\,;\,1998} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) – \frac{{m{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}{{18}}\)

nghịch biến trên \(\left( {0\,;5} \right)\)?

A. 1979.

B. 1980.

C. 1981.

D. 1982.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) – \frac{{m{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}}}{{18}} \Rightarrow g’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) – \frac{{2mx\left( {{x^2} + 9} \right)}}{9}\).

Để hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0\,;\,5} \right)\)thì \(g’\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,5} \right)\).

\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{3}f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) – \frac{{2mx\left( {{x^2} + 9} \right)}}{9} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{3}f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) \le \frac{{2mx\left( {{x^2} + 9} \right)}}{9} \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{{x^2} + 9}}f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) \le 2m,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,5} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng bất đằng thức Cauchy cho hai số dương \({x^2}\)và9.

\({x^2} + 9 \ge 2\sqrt {{x^2}.9} = 2.3x \Rightarrow \frac{{3x}}{{{x^2} + 9}} \le \frac{1}{2},\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,5} \right)\). Dấu xảy ra khi \(x = 3\).\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(0 < x < 5\) nên \(0 < \frac{{{x^3}}}{9} < \frac{{125}}{9}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(0 < f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) \le 72,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,5} \right)\). Dấu xảy ra khi \(x = 3\). \(\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(\frac{{3x}}{{{x^2} + 9}}f’\left( {\frac{{{x^3}}}{9}} \right) \le \frac{1}{2}.72 = 36,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,5} \right)\). Dấu xảy ra khi \(x = 3\).

\(\left( * \right) \Rightarrow 36 \le 2m \Rightarrow m \ge 18\)\( \Rightarrow m \in \left[ {18\,;1998} \right]\).

Vậy có 1981 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.