Đề bài: Cho: $\triangle ABC$ và $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{x}\cos A+\frac{1}{y}\cos B+\frac{1}{z}\cos C\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2xyz}$

Lời giải

Đề bài:
Cho: $\triangle ABC$ và $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{x}\cos A+\frac{1}{y}\cos B+\frac{1}{z}\cos C\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2xyz}$
Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.
Ta có: $(x.\overrightarrow {OM}+y.\overrightarrow {ON}+z.\overrightarrow {OP})^{2}\geq 0 (1)$
Khai triển $(1)$ ta có:
$(x^{2}+y^{2}+z^{2}).r^{2}+2(xy.\overrightarrow {OM}.\overrightarrow {ON}+yz.\overrightarrow {ON}.\overrightarrow {OP}+zx.\overrightarrow {OP}.\overrightarrow {OM})\geq 0$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+z^{2}).r^{2}+2r^{2}[xy.\cos (\pi -C)+yz.\cos (\pi -A)+zx.\cos (\pi -B)]\geq0$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2xy.\cos C+2yz.\cos A+2zx.\cos B  (2)$
Chia $2$ vế của $(2)$ cho $xyz$ ta được:
$\frac{1}{x}\cos A+\frac{1}{y}\cos B+\frac{1}{z}\cos C\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2xyz}$
$\Rightarrow$(ĐPCM)
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi: $x=y=z$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác