Đề bài: Chứng minh rằng với $a, b, c, d, e$ là các số thực nằm trong khoảng $(0, 1)$ thì:    \(\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right)\left( {1 – d} \right)\left( {1 – e} \right) > 1 – a – b – c – d – e\)

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với $a, b, c, d, e$ là các số thực nằm trong khoảng $(0, 1)$ thì:    \(\left( {1 – a} \right)\left( {1 – b} \right)\left( {1 – c} \right)\left( {1 – d} \right)\left( {1 – e} \right) > 1 – a – b – c – d – e\)
Lời giải

Ta chứng minh kết quả tổng quát như sau:
Với \({a_1},{a_2},…{a_n} \in \left( {0;1} \right)\left( {n \ge 2} \right)\)thì
\(\left( {1 – {a_1}} \right)\left( {1 – {a_2}} \right)…\left( {1 – {a_n}} \right) > 1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_n}\)
Chứng minh bằng quy nạp toán học theo $n$.
–  Với \(n = 2 \Rightarrow \left( {1 – {a_1}} \right)\left( {1 – {a_2}} \right) = 1 – {a_1} – {a_2} + {a_1}{a_2} > 1 – {a_1} – {a_2}\)
–  Giả sử khẳng định đúng với $n = k$, ta cũng chứng minh khẳng định cũng đúng với $n = k + 1$. Do khẳng định đúng với  $n = k$ nên:\(\left( {1 – {a_1}} \right)\left( {1 – {a_2}} \right)…\left( {1 – {a_k}} \right) > 1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_k}\)
Vì \(0 0\). Do đó \(\left( {1 – {a_1}} \right)\left( {1 – {a_2}} \right)…\left( {1 – {a_k}} \right)\left( {1 – {a_{k + 1}}} \right) > \left( {1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_k}} \right)\left( {1 – {a_{k + 1}}} \right)\)
Mà vế phải bằng \(1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_k} – {a_{k + 1}} + \left( {{a_1} + {a_2} + … + {a_k}} \right){a_{k + 1}} > 1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_k} – {a_{k + 1}}\)
    \( \Rightarrow \left( {1 – {a_1}} \right)\left( {1 – {a_2}} \right)…\left( {1 – {a_{k + 1}}} \right) > 1 – {a_1} – {a_2} – … – {a_{k + 1}}\)
Vậy khẳng định đúng với \(\forall n \ge 2\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác