Lời giải
Đề bài:
Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng: $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$
Lời giải
ta có:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq (a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\geq (a+b)ab+abc=(a+b+c)ab$
$
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)ab} (1)$
Tương tự, ta cũng có:
$
\displaystyle \frac{1}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)bc} (2)$
$
\displaystyle \frac{1}{a^3+c^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)ac} (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2),(3)$ ta được:
$
\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$
$
\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời