Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n, p$ ta có:    $\frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}
Lời giải

Trước tiên ta đi chứng minh:
        $
\displaystyle \frac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}}

 Thật vậy:
      $
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[p]{k}}-\frac{1}{\sqrt[p]{k+1}}=\frac{\sqrt[p]{k+1}-\sqrt[p]{k}}{\sqrt[p]{k(k+1)}}$
                                     $
\displaystyle =\frac{k+1-k}{\sqrt[p]{k(k+1})(\sqrt[p]{(k+1)^{p-1}}+\sqrt[p]{(k+1)^{p-2}k}+…+\sqrt[p]k^{p-1})}$
                                     $
\displaystyle >\frac{1}{\sqrt[p]{k(k+1)}.p\sqrt[p]{(k+1)^{p-1}}}=\frac{1}{p(k+1)\sqrt[p]{k}}$
      $
\displaystyle \Leftrightarrow p(\frac{1}{\sqrt[p]{k}}-\frac{1}{\sqrt[p]{k+1}})>\frac{1}{(k+1)\sqrt[p]{k}}$.
 Bây giờ thay $k=1,2,…,n$ vào $(1)$ được   :
          $
\displaystyle \frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}

          $
\displaystyle \frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}

            …

          $
\displaystyle \frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}

 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
            $
\displaystyle \frac{1}{(1+1)\sqrt[p]{1}}+\frac{1}{(2+1)\sqrt[p]{2}}+…+\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác