Đề bài: Cho $n+2$  số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh:                                                      $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}     (1)$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n+2$  số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh:                                                      $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}     (1)$
Lời giải

Ta có: $\alpha \leq a_1 \leq \beta \Leftrightarrow (a_1-\alpha)(a_1-\beta) \leq 0 \Leftrightarrow a_1^2-(\alpha+\beta)a_1+\alpha.\beta \leq 0$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a_1=\alpha$ hoặc $a_1=\beta$
Tương tự: $a_2^2-(\alpha+\beta)a_2+\alpha.\beta \leq 0$
         $a_3^2-(\alpha+\beta)a_3+\alpha.\beta \leq 0$
       ………………………………………….
         $a_n^2-(\alpha+\beta)a_n+\alpha.\beta \leq 0$
Công theo từng vế $n$ bất phương trình trên ta có:
       $(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2)-(\alpha+\beta)(a_1+a_2+…+a_n)+n\alpha.\beta \leq 0$
    $\Leftrightarrow nS_2-n(\alpha+\beta)S_1+n\alpha.\beta \leq 0 \Leftrightarrow S_2+\alpha.\beta \leq (\alpha+\beta)S_    (2)$
Theo bất đửng thức Cô-si: $S_2+\alpha.\beta \geq 2\sqrt{\alpha.\beta.S_2}            (3)$
Từ $(2),(3)$ suy ra: $2\sqrt{\alpha.\beta S_2} \leq (\alpha+\beta)S_1 \Leftrightarrow \frac{S_2}{S_1} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}$   (đpcm)
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a_i=\alpha$ hoặc $a_i=\beta$ với $\forall a_i=1,2…n$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác