Đề bài: Cho các số thực $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}$.
Lời giải

Ta có:
    $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)xy+yz(x+y+z)+xz^2+zx^2$
Vì $x,y,z>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $8$ số dương:
$3$ số $
\displaystyle \frac{1}{3}xy(x+y+z)$, $3$ số $
\displaystyle \frac{1}{3}yz(x+y+z), zx^2$ và $xz^2$, ta được:
    $
\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[8]{\frac{(xyz)^6(x+y+z)^6}{3^6}}=8\sqrt[4]{\frac{(xyz)^3(x+y+z)^3}{27}}$
    $\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}\geq 16xyz(x+y+z)$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi:
    $
\displaystyle \frac{1}{3}xy(x+y+z)=\frac{1}{3}yz(x+y+z)=zx^2=xz^2\Leftrightarrow x=y=z$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi