Đề bài: Chứng minh rằng: \(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}\geq 9\sqrt[9]{abc}\).

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: \(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}\geq 9\sqrt[9]{abc}\).
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho chin số không âm là:
\(\sqrt{a},\sqrt{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{b},\sqrt[4]{c},\sqrt[4]{c},\sqrt[4]{c},\sqrt[4]{c}\).
Ta có: \(\frac{2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}}{9}\geq \sqrt[9]{\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{b}\sqrt[4]{c}\sqrt[4]{c}\sqrt[4]{c}\sqrt[4]{c}}\geq \sqrt[9]{abc}\)
Vậy: \(2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c}\geq 9\sqrt[9]{abc}\).
Dấu bằng xảy ra khi
$\sqrt{a}=\sqrt[3]{b}=\sqrt[4]{c}\Leftrightarrow a^6=b^4=c^3\ge 0.$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi