Đề bài: Hãy xác định dạng của tam giác $ABC$ để:  $\cot A + \cot B+\cot C$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Đề bài:
Hãy xác định dạng của tam giác $ABC$ để:  $\cot A + \cot B+\cot C$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

Đặt  $T=\cot A+\cot B+\cot C$
Không mất tính tổng quát giả sử:  $0Ta có : $\cot A + \cot B=\frac{ \sin (A+B)}{\sin A \sin B } = \frac{4 \sin \frac{ A+B}{ 2}\cos \frac{ A+B}{ 2}   }{ \cos (A-B)- \cos (A+B)} $
Do $0nên $\cot A + \cot B \geq  \frac{4 \sin \frac{ A+B}{ 2} \cos \frac{ A+B}{ 2}   }{ 2 \sin ^2 \frac{ A+B}{ 2} } $
      $\Rightarrow \cot A +\cot B \geq  2 \cot \frac{ A+B}{ 2}=2 \tan \frac{ C}{ 2}  $
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A=B.$
Áp dụng công thức $\cot 2a = \frac{1-\tan ^2 a }{ 2 \tan a} = \frac{ 1}{ 2 \tan a} -\frac{1 }{ 2} \tan a$
ta được $\cot C = \frac{ 1}{2 \tan \frac{ C}{ 2}}- \frac{ 1}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2}  $
Vậy $T \geq  2 \tan \frac{ C}{ 2} +\frac{ 1}{2 \tan \frac{ C}{ 2}  } – \frac{1 }{2 } \tan \frac{ C}{ 2}$
       $T \geq  \frac{ 3}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2} +\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{ C}{ 2} }. $ Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :
                  $\frac{ 3}{ 2}\tan \frac{C }{2 } +\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{C }{2 } } \geq  2 \sqrt{\frac{ 3}{ 2} \tan \frac{ C}{ 2}.\frac{ 1}{ 2 \tan \frac{ C}{ 2} }  } $
Ta được $T \geq  \sqrt{3}$.  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
         $\left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\frac{3}{2}\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{{2\tan \frac{C}{2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
\tan \frac{C}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = B\\
C = {60^0}
\end{array} \right.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\cot A+\cot B+\cot C$ là $\sqrt{3} $ đạt được khi tam giác $ABC$ đều.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi