Đề bài: Cho $a+b+c\neq 0$,hãy chứng minh:$1/a^{3}+ b^{3} + c^{3} =3abc+\left (  a+b+c  \right )\left (  a^{2}+ b^{2} + c^{2} -ab-bc-ca \right )$ $2/\frac{ a^{3}+ b^{3} + c^{3} -3abc}{  a+b+c }\geq 0$ 

Lời giải

$1/$Ta có:
$a^{3}+  b^{3}=
\left ( a+b \right )^{3}-3ab
\left ( a+b \right )$
$\Rightarrow 
a^{3}+  b^{3} +  c^{3} -3abc=
\left ( a+b \right )^{3} + c^{3} 
-3ab \left ( a+b+c \right ) $ 
$=
\left ( a+b+c \right ) [
\left ( a+b \right )^{2}-
 \left ( a+b \right )c+ 
c^{2}-3ab ] $ 
$=
\left ( a+b+c \right )  \left (    a^{2} +
 b^{2} + c^{2}  -ab-bc-ca\right )$ 
$\Rightarrow 
a^{3}+  b^{3} +  c^{3} =
3abc+ \left ( a+b +c\right ) 
\left (    a^{2} +  b^{2} + c^{2}  -ab-bc-ca\right ) $ 
$2/$Theo chứng minh $1/$, ta có:
$ \frac{
a^{3}+  b^{3} +  c^{3} -3abc}{a+b+c}=
a^{2} +  b^{2} + c^{2}  -ab-bc-ca $
$=\frac{1}{2}[
\left ( a-b \right )^{2}+
\left ( b-c \right )^{2 }
+ \left ( c-a \right )^{2} ]\geq 0  $ 
(Chú ý: vì $
a^{2}+  b^{2} +  c^{2} \geq ab+bc+ca$, nên: $\frac{
a^{3}+  b^{3} +  c^{3} -3abc }{a+b+c}\geq 0$
 

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản