Đề bài: Chứng minh rằng:  $ \frac{2x^2 – x + 1}{2x^2 + x + 1} > \frac{1}{3}  \forall x \in R $

Lời giải

Đặt  $ y = \frac{{2{x^2} – x + 1}}{{2{x^2} + x + 1}}, $  xác định  $ \forall x \in R $ .
$  \Leftrightarrow 2\left( {y – 1} \right){x^2} + \left( {y + 1} \right)x + y – 1 = 0 $         (1)
Nếu y = 1:
$ \left( 1 \right) \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $
Giá trị y = 1 phù hợp.
Nếu  $ y \ne 1 $ :
(1) có nghiệm  $  \Leftrightarrow \Delta  \ge 0) $  $ \begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 7{y^2} – 18y + 7 \ge 0
 \Leftrightarrow \frac{{9 – 4\sqrt 2 }}{7} \le y \le \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}
\end{array} $
Miền giá trị của hàm là đoạn  $ \left[ {\frac{{9 – 4\sqrt 2 }}{7};\frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}} \right] $
Vì  $ \frac{1}{3} \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in R $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản