38. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(AA’\) với mặt phẳng \(BCC’B’\) bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC’} \right)\) và cùng bằng \(x\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABC’} \right)\) bằng \(\alpha \). Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) nhỏ nhất. 

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
38. Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(AA’\) với mặt phẳng \(BCC’B’\) bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC’} \right)\) và cùng bằng \(x\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABC’} \right)\) bằng \(\alpha \). Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) nhỏ nhất. 

A. \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \).

B. \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

C. \(\tan \alpha  = \sqrt 3 \).

D. \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Lời giải

Từ giả thiết, ta suy ra \(AA'{\rm{//}}\left( {BCC’B’} \right) \Rightarrow d\left( {AA’,\left( {BCC’B’} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC’B’} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\), ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCC’B’} \right)\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC’B’} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCC’B’} \right)} \right) = AH = x\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACC’A’} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AC’\), ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}CK \bot AC’\\CK \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot \left( {ABC’} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC’} \right)} \right) = CK = x\).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABC’} \right)\) là \(\widehat {CAC’} = \alpha \).

Trong tam giác vuông \(ACK\), ta có \(\sin \alpha  = \frac{{CK}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{CK}}{{\sin \alpha }} = \frac{x}{{\sin \alpha }}\).

Trong tam giác vuông \(ACC’\), ta có \(\cos \alpha  = \sin \widehat {AC’C} = \frac{{CK}}{{CC’}} \Rightarrow CC’ = \frac{{CK}}{{\cos \alpha }} = \frac{x}{{\cos \alpha }}\).

Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{x^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{x}{{\cos \alpha }}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là \(V = CC’.{S_{\Delta ABC}} = CC’.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{x^3}}}{{2\sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha }}\).

Ta có \({\left( {\sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = \frac{1}{2}.2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha  \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2{{\sin }^2}\alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha }}{3}} \right)^3} = \frac{4}{{27}}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha .{\cos ^2}\alpha  \le \frac{{2\sqrt 3 }}{9}\). Suy ra \(\min V = \frac{{3{x^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(2{\sin ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)