===============
32. Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\) và \(P\) là điểm thuộc tia đối của \(SC\) sao cho \(SC = 3SP\). Biết rằng trong các mặt cầu đi qua ba điểm \(A\), \(M\), \(N\) thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AMNP\) có bán kính nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\).
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{12}}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).
Lời giải
Gọi \(\left( S \right)\)là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AMNP\), suy ra \(\left( S \right)\) chứa đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMN\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CM \bot AB\), \(AN \bot BC \Rightarrow \) đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMN\) là đường tròn đường kính \(AC\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\) chứa đường tròn đường kính \(AC\) \( \Rightarrow R \ge \frac{{AC}}{2} \Rightarrow \) mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính nhỏ nhất khi nó là mặt cầu đường kính \(AC \Rightarrow \Delta APC\) vuông tại \(P\).
Xét \(\Delta SPA\) vuông tại \(P\), ta có: \(A{P^2} = S{A^2} – S{P^2}.\)
Mà: \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SC\\SP = \frac{1}{3}SC\end{array} \right. \Rightarrow SP = \frac{1}{3}SA \Rightarrow A{P^2} = S{C^2} – \frac{{S{C^2}}}{9} = \frac{8}{9}S{C^2}\).
Xét tam giác \(APC\) vuông tại \(P\), ta có:
\(A{C^2} = A{P^2} + P{C^2} = \frac{{8S{C^2}}}{9} + {\left( {SP + SC} \right)^2} = \frac{{8S{C^2}}}{9} + \frac{{16S{C^2}}}{9} = \frac{{24S{C^2}}}{9}.\)
\( \Rightarrow S{C^2} = \frac{9}{{24}}{a^2}\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\) là
\(h = \sqrt {S{C^2} – {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)
Để lại phản hồi