===============
22. Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). \(\widehat {BCD} = \widehat {{A_1}{D_1}D} = \widehat {B{B_1}{A_1}} = 60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({A_1}D\) và \(C{D_1}\) bằng:
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Lời giải
+ Gọi \(O = AC \cap BD\)
+ \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\) \(\left( 1 \right)\).
+ Ta có : \(\widehat {{A_1}{D_1}D} = \widehat {{A_1}{B_1}B} = 60^\circ \); \({A_1}{D_1} = {D_1}D = {A_1}{B_1} = B{B_1} = a\)\( \Rightarrow \Delta {A_1}{D_1}D = \Delta {A_1}{B_1}B\)\( \Rightarrow {A_1}D = {A_1}B\)\( \Rightarrow {A_1}O \bot BD\)\(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BD \bot \left( {{A_1}AO} \right)\).
Kẻ \(AH \bot {A_1}O\) tại \(H\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {{A_1}BD} \right)\).
+ Vì \(C{D_1}\parallel {A_1}B\) nên \(C{D_1}\parallel \left( {{A_1}BD} \right)\),
do đó \(d\left( {{A_1}D;\,C{D_1}} \right) = d\left( {C{D_1};\,\left( {{A_1}BD} \right)} \right)\)\( = d\left( {C;\,\left( {{A_1}BD} \right)} \right) = d\left( {A;\,\left( {{A_1}BD} \right)} \right)\)\( = AH\).
+ Ta có \(\Delta {A_1}{D_1}D\), \(\Delta CBD\) và \(\Delta {A_1}{B_1}B\) là các tam giác đều cạnh \(a\) nên \({A_1}O = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(OA = OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Suy ra \(\Delta OA{A_1}\) cân tại \(O\).
+ Dựng \(OI \bot A{A_1}\)\( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm của \(A{A_1}\)\( \Rightarrow OI = \sqrt {O{A^2} – A{I^2}} \)\( = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
+\({S_{O{A_1}A}} = \frac{1}{2}OI.A{A_1} = \frac{1}{2}AH.O{A_1}\)\( \Leftrightarrow AH = \frac{{OI.A{A_1}}}{{O{A_1}}}\)\( = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \({A_1}D\) và \(C{D_1}\) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)