4. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CM\) biết \(M\) là trung điểm \(SD\).

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
4. Cho hình chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CM\) biết \(M\) là trung điểm \(SD\).

A. \(\frac{{3a}}{{2\sqrt {22} }}\).

B. \(\frac{{3a}}{{\sqrt {22} }}\).

C. \(\frac{{6a}}{{\sqrt {22} }}\).

D. \(\frac{a}{{\sqrt {22} }}\).

Lời giải

+) Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) \(\left( {\widehat {SO,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SOH} = 60^\circ \).

+) \(OH = \frac{{AD}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+) \(SH = OH.\tan 60^\circ  = \frac{{3a}}{2}\).\(\) 

Gắn hệ trục tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ. Ta có: 

\(H\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( { – \frac{a}{2};0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\frac{{3a}}{2}} \right)\), \(C\left( {\frac{a}{2};a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(D\left( { – \frac{a}{2};a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(M\left( { – \frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{{3a}}{4}} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {SA}  = \left( { – \frac{a}{2};0; – \frac{{3a}}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {CM}  = \left( { – \frac{{3a}}{4}; – \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{{3a}}{4}} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {a;a\sqrt 3 ;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CM} } \right] = \left( { – \frac{{3\sqrt 3 a}}{4};\frac{{3a}}{2};\frac{{\sqrt 3 a}}{4}} \right)\).

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CM\) là: 

\(d\left( {SA,CM} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CM} } \right]} \right|}}\)\( = \frac{{\left| { – \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {\frac{{27{a^2}}}{{16}} + \frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{3a}}{{\sqrt {22} }}\).

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)