===============
2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. \(AB = a\), \(AD = 2a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\), \(SA = 2a\). Tính giá trị \(\tan \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Lời giải
Cách 1:
Ta có \(SB = a\sqrt 5 \)
Gọi \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mp \(\left( {SCD} \right)\).
Kẻ \(EK \bot SC\), \(\left( {K \in SC} \right)\)
\( \Rightarrow BK \bot SC\) (định lý ba đường vuông góc)
\( \Rightarrow \varphi = \widehat {\left( {\left( {SCD} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {EK;BK} \right)} = \widehat {BKE}\) (vì tam giác \(\Delta BKE\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {BKE} < 90^\circ \)).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\)\( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).
Dựng \(AH \bot SD\left( {H \in SO} \right)\). Dễ thấy \(AH \bot \left( {SCD} \right)\) .
Ta có:
\(BK = \sqrt {\frac{{B{C^2}.S{B^2}}}{{B{C^2} + S{B^2}}}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)
\(BE = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \frac{1}{2}SD = a\sqrt 2 \)(vì \(\Delta SAD\) vuông cân tại \(A\))
\(EK = \sqrt {B{K^2} – B{E^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
\(\tan \varphi = \frac{{BE}}{{EK}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{3}}} = 3\).
Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa.
Đặt hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\),\(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;2a;0} \right)\), \(D\left( {0;2a;0} \right)\), \(S\left( {0;0;2a} \right)\).
\(\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; – 2a} \right)\), \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;2a; – 2a} \right)\), \(\overrightarrow {SD} = \left( {0;2a; – 2a} \right)\)
Khi đó mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)có cặp VTCP là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0; – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2; – 2} \right)\) nên có VTPT là \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;0;2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\)có cặp VTCP là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2; – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {0;2; – 2} \right)\)nên có VTPT là \(\left[ {\overrightarrow {{n_2}} \,,\,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {0;2;2} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SDC} \right)\) ta có:\(\cos \varphi = \frac{{\left| {4.0 + 0.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {20} .\sqrt 8 }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \tan \varphi = 3\).
=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)