Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức\({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}}\)?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức\({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}}\)?

A. \(1\). 

B. \(2\). 

C. \(3\). 

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận

Ta có : \({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} – y =  – {x^2} – x + 1\left( * \right)\)

Cách 1 :

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \)tìm \(x \in \mathbb{Z}\) đề phương trìnhcó nghiệm y dương.

Xét hàm số \(f\left( y \right) = {y^2} – y\) trên \(\left( {0, + \infty } \right)\)

\(f’\left( y \right) = 2y – 1,\,\,f’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}.\)

BBT :

Dựa vào BBT ta có :

Phương trìnhcó nghiệm y dương \( \Leftrightarrow  – {x^2} – x + 1 \ge  – \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { – 1;0} \right\}\)

Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.

Cách 2 :

Yêu cầu bài toán được thoả 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\,V\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

TH1 : 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};\frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\\y = \frac{1}{2} + \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

Ta chọn \(x \in \left\{ { – 1;0} \right\}\)

TH2 : 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};y > 0\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z};\frac{{ – 1 – \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ – 1 + \sqrt 6 }}{2}\\y = \frac{1}{2} – \sqrt {\frac{3}{2} – {{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2}} ;y > 0\end{array} \right.,\,\,\)

không tồn tại \(x \in \mathbb{Z}\) để \(y > 0\)

Vậy có 2 số nguyên x để phương trìnhcó nghiệm thực y dương.

Tư duy + C. asio + Mẹo

Vẫn như kỹ thuật ở trên – xử lý bảng đồng thời 2 giá trị x, y

Ta có : \({2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y – x + 1}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y – x + 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} – y =  – {x^2} – x + 1\).

Dò bảng đồng thời x, y

Vậy chỉ có hai số nguyên x tồn tại số thực dương y.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========