ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}a + {\log _3}b = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{\log }_3}a} + \sqrt {{{\log }_2}b} \) bằng.
A. \(\sqrt {{{\log }_2}3} + \sqrt {{{\log }_3}2} \).
B. \(\sqrt {{{\log }_2}3 + {{\log }_3}2} \).
C. \(\frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}3 + {{\log }_3}2} \right)\).
D. \(\frac{2}{{\sqrt {{{\log }_2}3 + {{\log }_3}2} }}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận
Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được:
\(P = \sqrt {{{\log }_3}a} + \sqrt {{{\log }_2}b} = \sqrt {\frac{{{{\log }_2}a}}{{{{\log }_2}3}}} + \sqrt {\frac{{{{\log }_3}b}}{{{{\log }_3}2}}} = \sqrt {\frac{{{{\log }_2}a}}{{{{\log }_2}3}}} + \sqrt {\frac{{1 – {{\log }_2}a}}{{{{\log }_3}2}}} \)
Đặt \({\log _2}a = t\)\( \Rightarrow P = \frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {{{\log }_2}3} }} + \sqrt {{{\log }_2}3} .\sqrt {1 – t} \).
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {{{\log }_2}3} }} + \sqrt {{{\log }_2}3} .\sqrt {1 – t} \)có TXĐ: \(D = \left[ {0;1} \right]\).
\( \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt t .\sqrt {{{\log }_2}3} }} – \frac{{\sqrt {{{\log }_2}3} }}{{2\sqrt {1 – t} }}\).
Ta có: \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt t .\sqrt {{{\log }_2}3} }} – \frac{{\sqrt {{{\log }_2}3} }}{{2\sqrt {1 – t} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 – t} = {\log _2}3.\sqrt t \Leftrightarrow t = \frac{1}{{1 + \log _2^23}}\).
BBT:
Từ BBT ta có giá trị lớn nhất của \(f\left( t \right)\) là: \(\sqrt {{{\log }_2}3 + {{\log }_3}2} \).
\( \Rightarrow \) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là:\(\sqrt {{{\log }_2}3 + {{\log }_3}2} \).
Tư duy + Casio
Quy đổi đáp án thành số liệu cụ thể
Đáp án A. \(P \approx 2,05\) | Đáp án B. \(P \approx 1,49\) | Đáp án C. \(P \approx 1,11\) | Đáp án D. \(P \approx 1,34\) |
Ta có: \({\log _2}a + {\log _3}b = 1\), cho \(a\) tìm \(b\) với \(a,b > 1\)
\(a = 1 \to b = 3\) | \(a = 1,25 \to b \approx 2,1\) | \(a = 1,5 \to b \approx 1,57\) | \(a = 1,75 \to b \approx 1,24\) |
Trả lời