ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(1 > a > b > \frac{1}{4}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. \(\left( {0;\,1} \right)\).
B. \(\left( {4;\frac{{11}}{2}} \right).\)
C. \(\left( {\frac{5}{2};4} \right)\).
D. \(\left( {1;\frac{5}{2}} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1: Tự luận
Đặt \({\log _b}a = t\). Với điều kiện: \(1 > a > b > \frac{1}{4}\).
Khi đó \(0 = {\log _b}1 < {\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow t \in \left( {0;\,1} \right)\)
Ta có: \({b^2} – b + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow b – \frac{1}{4} \le {b^2} \Rightarrow {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2} \Rightarrow {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) \ge \frac{2}{t}\).
\({\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b = \frac{1}{{2\left( {{{\log }_b}a – 1} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {t – 1} \right)}}.\) Do đó \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \ge \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\) vói \(t \in \left( {0;\,1} \right)\).
\(f’\left( t \right) = – \frac{2}{{{t^2}}} + \frac{1}{{2{{\left( {1 – t} \right)}^2}}}.\) Với \(t \in \left( {0;\,1} \right)\), ta có: \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)
Do: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \left( {\frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ – }} f(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ – }} \left( {\frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}} \right) = + \infty .\)
Lập \({\rm{BBT}}\) của hàm số \(f\left( t \right) = \frac{2}{t} + \frac{1}{{2\left( {1 – t} \right)}}\) với \(t \in \left( {0;\,1} \right)\) ta có:
Dựa vào \({\rm{BBT}}\) ta tìm được \(Minf\left( t \right) = \frac{9}{2}\) tại \(t = \frac{2}{3}\).
Vậy \(MinP = \frac{9}{2}\).
Cách 2: Tư duy + Casio
Vẫn áp dụng kĩ thuật liên quan đến điều kiện \(1 > a > b > \frac{1}{4}\).
Nhập cả biểu thức: \(P = {\log _a}\left( {b – \frac{1}{4}} \right) – {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \) vào máy tính.
Dùng lệnh CALC đồng thời cả \(a,\,b\) với \(1 > a > b > \frac{1}{4}\) thử nhanh liên tục ta được \(\min P = \frac{9}{2}\).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========