DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện sau \(0 \le y \le 100\) và \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\)?
A. 10.
B. 100.
C. 20.
D. 21.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} – 27{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} + 3{x^2} + 6y = 27{y^3} + 9y\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2y} \right)^3} + 3\left( {{x^2} + 2y} \right) = {\left( {3y} \right)^3} + 3 \cdot 3y\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\).
Ta có \(f’\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\). Do đó \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vì vậy, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2y} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2y = 3y \Leftrightarrow {x^2} = y\).
Theo đề bài, \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow – 10 \le x \le 10\).
Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ { – 10; – 9;…;9;10} \right\}\). Với mỗi \(x\) xác định duy nhất một giá trị \(y = {x^2}\).
Vậy có 21 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tư duy + Casio:
Ta có phương trình \({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\).
Áp dụng kỹ thuật CALC \(y = 0,01 \Rightarrow x = 0,1 = \sqrt y \Rightarrow y = {x^2}\).
Theo đề bài, \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow – 10 \le x \le 10\).
Vì \(x\) là số nguyên nên \(x \in \left\{ { – 10; – 9;…;9;10} \right\}\). Với mỗi \(x\) xác định duy nhất một giá trị \(y = {x^2}\).
Vậy có 21 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========