ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn \(x\,,\,y \in \left[ {5\,;\,37} \right]\) và \(\sqrt x = {y^2} + 2y – x + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \).
A. \(32\).
B. \(5\).
C. \(1\).
D. \(33\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
\(\sqrt x = {y^2} + 2y – x + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \Leftrightarrow x + \sqrt x = {y^2} + 2y + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \,\,(2)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \sqrt t \) trên khoảng \(\left( {0\,; + \infty } \right)\) ta có:
\(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{2\sqrt t }} > 0,\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0\,; + \infty } \right)\).
\((2) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {{y^2} + 2y + 2} \right) \Leftrightarrow x = {y^2} + 2y + 2\).
Do \(x,y \in \left[ {5\,;37} \right]\) nên \(5 \le {y^2} + 2y + 2 \le 37 \Leftrightarrow 4 \le {\left( {y + 1} \right)^2} \le 36\)
\( \Leftrightarrow 2 \le y + 1 \le 6 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5\)
Do \(y \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \left[ {5\,;37} \right]\) nên \(y = 5\).
Với giá trị \(y = 5\) cho ta 1 giá trị \(x = 37 \in \left[ {5\,;37} \right]\) thoả đề bài.
Vậy có 1 cặp số nguyên \(\left( {x\,;y} \right)\) thoả bài toán.
– Tư duy + C. asio:
+ Áp dụng kĩ thuật CALC \(y = 0.01 \to x = 2.0201 = {y^2} + 2y + 2\).
![Có bao nhiêu cặp số nguyên (left( {x,;,y} right)) thỏa mãn (x,,,y in left[ {5,;,37} right]) và (sqrt x = {y^2} + 2y - x + 2 + sqrt {{y^2} + 2y + 2} ).</p> 1](https://lh5.googleusercontent.com/c_zIPP8Wlq_KDBoPqp3NlzdSRcGWoSRHzOe1j-OJZM4xI_uJcds2NV45ry-wGMQxkuebS_vm2ltaf11rHDpDkW44yX31rnjGsMQAUkhkRqKZnze39jGGOJVPea7Ci5-zCInSgjc "Có bao nhiêu cặp số nguyên (left( {x,;,y} right)) thỏa mãn (x,,,y in left[ {5,;,37} right]) và (sqrt x = {y^2} + 2y - x + 2 + sqrt {{y^2} + 2y + 2} ).</p> 1")
+ Do \(x\,,y \in \left[ {5\,;37} \right]\) nên \(5 \le {y^2} + 2y + 2 \le 37 \Leftrightarrow 4 \le {\left( {y + 1} \right)^2} \le 36\)
\( \Leftrightarrow 2 \le y + 1 \le 6 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5\)
Do \(y \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \left[ {5\,;37} \right]\) nên \(y = 5\).
Với giá trị \(y = 5\) cho ta 1 giá trị \(x = 37 \in \left[ {5\,;37} \right]\) thoả đề bài.
Vậy có 1 cặp số nguyên \(\left( {x\,;y} \right)\) thoả bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========