38. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + d{x^2} + ex + f\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
38. Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + d{x^2} + ex + f\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Gọi \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m\) . Hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị.

A. \(5\).

B. \(6\).

C. \(9\).

D. \(8\)

Lời giải

Nhận xét: 

Từ đồ thị \(f’\left( x \right) = 5a{x^4} + 4b{x^3} + 3c{x^2} + 2dx + e\) suy ra \(a > 0\).

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g’\left( x \right) =  + \infty \).

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\).

Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} + x + 2\) (1) .

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) và đồ thị hs

\(y = {x^2} + x + 2\).

\(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2\) là đa thức bậc 4 với hệ số lớn nhất \(a > 0\). .

Dựa đồ thị ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g’\left( x \right) = c < 0\) (với \(c\) là hằng số) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g’\left( x \right) =  + \infty \). Vậy phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} > 1\).

Dựa vào đồ thị \(g’\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  – 2\\x =  – 1\\x = 1\end{array} \right.\) . 

Mà \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – x – 2 = 0\) là phương trình bậc 4 có tối đa 4 nghiệm. 

Kết luận: \(g’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x =  – 2\\x =  – 1\\x = 1\\x = {x_0} > 1\end{array} \right.\) .

Cũng dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m\) có 4 cực trị. 

Phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – m = 0\) có tối đa 5 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm \(g’\left( x \right) = 0\).

Vậy hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có tối đa 9 điểm cực trị.