2. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 4 thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\)bảng biến thiên như sau:

DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
2. Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 4 thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Hàm số \(f’\left( x \right)\)bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^{2021}}} \right) – 2021x} \right|\) có bao nhiêu cực trị?

A. \(3\).  

B. \(5\).

C. \(4\) .

D. \(2\)

Lời giải

Ta có \(f'(x)\) bậc ba có \(2\) điểm cực trị là \(x =  – 3,x =  – 1\) nên \(f”(x) = a(x + 3)(x + 1).\) Suy ra \(f'(x) = a(\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x) + b\). Từ BBT ta có 

\(\left\{ \begin{array}{l}f'( – 3) =  – 2021\\f'( – 1) =  – 2025\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  – 2021\\\frac{{ – 4}}{3}a + b =  – 2025\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  – 2021\end{array} \right.\)

Khi đó \(f'(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x – 2021\) Do đó \(f'(0) =  – 2021 < 0\). 

Đặt \(h(x) = f({x^{2021}}) – 2021x\) thì \(h'(x) = 2021{x^{2020}}f'({x^{2021}}) – 2021\) nên \(h'(x) = 0 \Leftrightarrow f'({x^{2021}}) = \frac{1}{{{x^{2020}}}}\) \((*)\)

Trên \(( – \infty ;0)\) thì \(f'(x) < 0\) nên \(f'({x^{2021}}) < 0,\forall x < 0\) còn \(\frac{1}{{{x^{2020}}}} > 0\)\(,\forall x < 0\) do đó \((*)\) vô nghiệm trên \(( – \infty ;0)\) và \(h'(x) = 2021{x^{2020}}\left[ {f'({x^{2021}}) – \frac{1}{{{x^{2020}}}}} \right] < 0,\forall x < 0\)

Xét \(x > 0\), từ BBT ta thấy \(f'(x)\) đồng biến còn \({\left( {\frac{1}{{{x^{2020}}}}} \right)^\prime } = \frac{{ – 2020}}{{{x^{2021}}}} < 0,\,\forall x > 0\) suy ra \(\frac{1}{{{x^{2020}}}}\) nghịch biến \(\forall x > 0\) nên \((*)\) có không quá \(1\) nghiệm. 

Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (f'({x^{2021}}) – \frac{1}{{{x^{2020}}}}) =  – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (f'({x^{2021}}) – \frac{1}{{{x^{2020}}}}) =  + \infty \) nên \((*)\) có đúng 1 nghiệm \(x = c > 0.\) Khi đó \(h'(x)\) đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Có \(h'(x) < 0,\forall x < 0\) nên \(h'(x) > 0,\forall x > c\) 

Xét bảng biến thiên của \(h(x)\).

Vì \(h(0) = f(0) – 2021.0 = f(0) = 0\) nên \(h(c) < 0\) và phương trình \(h(x) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt, khác \(c.\) Từ đó \(g\left( x \right) = \left| {h(x)} \right|\) sẽ có \(3\) điểm cực trị