Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(A,\,B\). Dựng mặt cầu tâm \(M\) bán kính \(MA.MB\). Khi đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu có diện tích nhỏ nhất thì \(M\)có tọa độ \(M\left( {a,b,c} \right)\). Giá trị của \(P =  – a + b + c\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1\). Xét điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}\). Qua \(M\) vẽ đường thẳng cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại 2 điểm \(A,\,B\). Dựng mặt cầu tâm \(M\) bán kính \(MA.MB\). Khi đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu có diện tích nhỏ nhất thì \(M\)có tọa độ \(M\left( {a,b,c} \right)\). Giá trị của \(P =  – a + b + c\) bằng

A. \(P = \frac{4}{3}\). 

B. \(P = \frac{3}{4}\). 

C. \(P =  – \frac{4}{3}\). 

D. \(P =  – \frac{3}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M\) là một điểm tùy ý trên \(\left( d \right)\). Do \(M\) nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có tọa độ của \(M\left( {2t + 1;t + 1; – 2t – 2} \right)\). Giả sử \(M\)nằm trên mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1\) thì:

\({\left( {2t + 1 – 1} \right)^2} + {(t + 1 + 1)^2} + {\left( { – 2t – 2 – 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 9{t^2} + 20t + 19 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm, do đó điểm \(M\)di động trên đường thẳng \(d\) luôn nằm ngoài mặt cầu.

Gọi \(O’,I\) lần lượt là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)và trung điểm đoạn \(AB\), \(T\)là tiếp điểm của một tiếp tuyến từ \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó

\(\begin{array}{l}MA.MB = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI}  – \overrightarrow {IA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = M{I^2} – I{A^2} = MO{‘^2} – O'{I^2} – I{A^2} = MO{‘^2} – 1 = M{T^2}.\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(T\) lên \(MO’\). Dễ thấy ngay H là tâm đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đang xét. Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có

\(\frac{1}{{T{H^2}}} = \frac{1}{{M{T^2}}} + \frac{1}{{O'{T^2}}} = \frac{1}{{M{T^2}}} + 1\).

Vậy đường tròn giao tuyến có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi \(TH\) có giá trị nhỏ nhất. \(TH\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MT\) nhỏ nhất.

Ta có \(M{T^2} = 9{t^2} + 20t + 19 \ge \frac{{71}}{9}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi \(t =  – \frac{{10}}{9}\). Vậy tọa độ điểm \(M\) là

\(M\left( { – \frac{{11}}{9}; – \frac{1}{9};\frac{2}{9}} \right) \Rightarrow P = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)