Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2; – 3)\) và \(B( – 3;6; – 1)\). Hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có đỉnh A, chiều cao AB, bán kính đáy \({r_1}\). Một hình nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có đỉnhB và có đáy là một thiết diện nằm trên \(\left( \alpha  \right)\) và song song với đáy của hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\). Biết mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(2x + by + cz + d = 0\) sao cho thể tích khối nón \(({N_2})\)đạt giá trị lớn

nhất. Tính \(b + c + d\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;2; – 3)\) và \(B( – 3;6; – 1)\). Hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\) có đỉnh A, chiều cao AB, bán kính đáy \({r_1}\). Một hình nón \(\left( {{N_2}} \right)\) có đỉnhB và có đáy là một thiết diện nằm trên \(\left( \alpha  \right)\) và song song với đáy của hình nón \(\left( {{N_1}} \right)\).

Biết mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(2x + by + cz + d = 0\) sao cho thể tích khối nón \(({N_2})\)đạt giá trị lớn

nhất. Tính \(b + c + d\).

A. \( – 1\). 

B. \( – 2\). 

C. \(8\). 

D. \(\frac{4}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét mặt cắt qua trục AB. Gọi \({r_2}\) là bán kính đáy của hình nón \(({N_2})\).

\(\overrightarrow {BA}  = \left( {4; – 4; – 2} \right) \Rightarrow BA = 6\) Đặt BH=x với \(0 < x < 6\)

Ta có \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} \Leftrightarrow \frac{{6 – x}}{6} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} \Rightarrow {r_2} = \frac{{6 – x}}{6}.{r_1}\)

Khi đó \({V_{{N_2}}} = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2.BH = \frac{{\pi r_1^2}}{{216}}.2x.(6 – x).(6 – x) \le \frac{{\pi r_1^2}}{{216}}.{\left( {\frac{{2x + 6 – x + 6 – x}}{3}} \right)^3} = \frac{{8\pi r_1^2}}{{27}}\) 

Dấu “=” xảy ra khi \(2x = 6 – x \Leftrightarrow x = 2\).

Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = 3\overrightarrow {BH}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 9 = 4\\3y – 18 =  – 4\\3z + 3 =  – 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { – \frac{5}{3};\frac{{14}}{3}; – \frac{5}{3}} \right)\)

\(\left( \alpha  \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,H\left( { – \frac{5}{3};\frac{{14}}{3}; – \frac{5}{3}} \right)\\VTPT\,\,\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  = (2; – 2; – 1)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( \alpha  \right)\): \(2\left( {x + \frac{5}{3}} \right) – 2\left( {y – \frac{{14}}{3}} \right) – \left( {z + \frac{5}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 2y – z + 11 = 0\)

Do đó \(b =  – 2;c =  – 1;d = 11 \Rightarrow b + c + d = 8\).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)