Cho hai số thực \(x,y\)thỏa mãn: \({2^{x – y}} + {2^{{x^2} – x}} \le \frac{{{2^{{x^2} – x + 2}}}}{{{2^{{x^2} + y – 2x}} + 1}}\). Giá trị lớn nhất của \(x – y\)là\(M\) khi \(x = m\). Tổng \(M + m\)
A. \(\frac{1}{4}\). B.\(\frac{1}{2}\). C.\(\frac{1}{2}\). D.\(\frac{3}{4}\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Biến đổi giả thiết: \({2^{x – y}} + {2^{{x^2} – x}} \le \frac{{{2^{{x^2} – x + 2}}}}{{{2^{{x^2} + y – 2x}} + 1}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^{y – x}}}} + \frac{1}{{{2^{x – {x^2}}}}} \le \frac{4}{{{2^{y – x}} + {2^{x – {x^2}}}}}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{y – x}} = a > 0\\{2^{x – {x^2}}} = b > 0\end{array} \right.\) khi đó giả thiết trở thành \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\left( 1 \right)\)
Bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\)tương đương \({\left( {a – b} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = b\)
\( \Rightarrow {2^{{x^2} – x}} = {2^{y – x}} \Leftrightarrow {x^2} – x = y – x \Leftrightarrow y = {x^2}\).
Khi đó \(x – y = x – {x^2} = – {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của \(y – x\)là \(M = \frac{1}{4}\)khi \(x = \frac{1}{2}\). Suy ra \(M + m = \frac{3}{4}\).
Trả lời